519.2 Об оптимальной конструкции моделирования разложения полиномиального хаоса в задачах количественной оценки неопределенности

Облакова Т. В. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Фам К. (-)

РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ХАОСА (РПХ), ВЫБОРКА ЛАТИНСКОГО ГИПЕРКУБА, КОГЕРЕНТНО ОПТИМАЛЬНАЯ ВЫБОРКА, D-КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ, ФУНКЦИЯ ИШИГАМИ, ФЕРМЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ


doi: 10.18698/2309-3684-2024-3-120139


Рассмотрено применение обобщенного разложения полиномиального хаоса (РПХ) в задачах количественной оценки неопределенности. Реализован программный код для изучения влияния схемы генерации входных данных на качество модели, коэффициенты которой вычисляются методом наименьших квадратов. В качестве критериев качества использовались значения среднеквадратической ошибки и скользящего контроля. Наряду с классическим методом заполнения пространства входных признаков по схеме латинского гиперкуба рассмотрены два варианта моделирования когерентно-оптимальной выборки: с использованием марковской цепи и с дополнительным прореживанием по D-критерию. В то время, как выборка латинского гиперкуба равномерно распределяет точки по всему пространству случайных переменных, когерентно-оптимальные методы нацелены на распределение проб более плотно в областях с большой дисперсией и более редко в областях с малой дисперсией. Такой подход позволяет более полно учесть информацию о реальной модели, что приводит к уменьшению количества проб при планировании эксперимента и как следствие экономии дорогого процессорного времени. Реализованные методы сравнивались на модельной функции Ишигами и конструкции фермы со случайными значениями физических характеристик. В результате сравнительного моделирования установлено, что в случае малого диапазона изменения случайных параметров, когда их градиенты медленно меняются, конструкция латинского гиперкуба показывает наименьшие значения ошибки и скользящего контроля. В то же время в случае сильной нелинейности применение когерентно-оптимальной конструкции приводит к созданию более стабильной и эффективной модели, а дополнительное прореживание по критерию D-оптимальности дает лучший результат и является самым устойчивым. Также показано, что оба алгоритма планирования эксперимента неустойчивы и некорректны при недостаточном количестве проб.


[1] Xiu D., Karniadakis G. The Wiener-Askey Polynomial Chaos for Stochastic Differential Equations. SIAM Journal on Scientific Computing, 2002, vol. 24, iss. 2, pp. 619–644. DOI: 10.1137/S1064827501387826
[2] Novak L. On distribution-based global sensitivity analysis by polynomial chaos expansion. Computers & Structures, 2022, vol. 65, iss. 15, art. no. 106808. DOI: 10.1016/j.compstruc.2022.106808
[3] Petterson M.P., Iaccarino G., Nordstrom J. Polynomial Chaos Methods for Hyperbolic Partial Differential Equations: Numerical Techniques for Fluid Dynamics Problems in the Presence of Uncertainties. Springer International Publishing Switzerland, 2015, 379 p.
[4] Luthen N., Marelli S., Sudret B. Sparse Polynomial Chaos Expansions: Literature Survey and Benchmark. SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, 2021, vol. 9, iss. 2, pp. 593–649. DOI: 10.1137/20M1315774
[5] Nataf A. Détermination des distributions de probabilité dont les marges sont données, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 1962, vol. 225, pp. 42–43.
[6] Облакова Т.В., Фам Куок В. Сравнительное моделирование на основе многочленов Колмогорова-Габора в задачах полиномиального хаоса и регрессии. Математическое моделирование и численные методы, 2023, № 4, с. 93–108.
[7] Cohen A., Migliorati G. Optimal weighted least-squares methods. SMAI Journal of Computational Mathematics, 2017, vol. 3, pp. 181–203.
[8] Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Сравнение прогрессивно цензурированных выборок – численные методы табулирования распределений статистик однородности и исследование оценки параметров связи их распределений методом Монте-Карло. Математическое моделирование и численные методы, 2015, № 3, c. 89–100.
[9] Shields M.D. Adaptive Monte Carlo analysis for strongly nonlinear stochastic systems. Reliability Engineering & System Safety, 2018, vol. 175, pp. 207–224. DOI: 10.1016/j.ress.2018.03.018
[10] Hampton J., Doostan A. Compressive sampling of polynomial chaos expansions: Convergence analysis and sampling strategies. Journal of Computational Physics, 2015, vol. 280, pp. 363–386. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.019
[11] Novak L., Vorechovsky M., Sadılek V., Shields M.D. Variance-based adaptive sequential sampling for Polynomial Chaos Expansion. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2021, vol. 386, art. no. 114105. DOI: 10.1016/j.cma.2021.114105
[12] Helton J.C., Davis F.J. Latin hypercube sampling and the propagation of uncertainty in analyses of complex systems. Reliability Engineering & System Safety, 2003, vol. 81, iss. 1, pp. 23–69. DOI: 10.1016/S0951-8320(03)00058-9
[13] Hampton J., Doostan A. Coherence motivated sampling and convergence analysis of least squares polynomial Chaos regression. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, vol. 290, iss. 15, pp. 73–97. DOI: 10.1016/j.cma.2015.02.006
[14] Andrieu C., Freitas N.E., Doucet A., Jordan M.I. An Introduction to MCMC for Machine Learning. Machine Learning, 2003, vol. 50, pp. 5–43. DOI: 10.1023/A:1020281327116
[15] Hadigol M., Doostan A. Least squares polynomial chaos expansion: A review of sampling strategies. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2018, vol. 332, pp. 382–407. DOI: 10.1016/j.cma.2017.12.019


Облакова Т.В., Фам Куок Вьет. Об оптимальной конструкции моделирования разложения полиномиального хаоса в задачах количественной оценки неопределенности. Математическое моделирование и численные методы, 2024, № 3, с. 120–139.



Скачать статью

Количество скачиваний: 55