629.7 Моделирование структуры управления на основе дискретного принципа Беллмана в задачах с особым управлением
Сесюкалов В. А. (ФГБУ ВО "Московский авиационный институт")
ПРИНЦИП БЕЛЛМАНА, ОПТИМИЗАЦИЯ, ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА, ОСОБОЕ УПРАВЛЕНИЕ, СТРУКТУРА УПРАВЛЕНИЯ
doi: 10.18698/2309-3684-2026-1-321
Целью работы является определение (синтез) структур управления в задачах управления динамическими объектами. Структурой управления в данной работе называется последовательность регулярных и особых (в смысле принципа максимума Понтрягина) участков управления, приводящих к решению транспортной задачи. В работе изложен алгоритм определения структуры управления на основе дискретного принципа оптимальности Беллмана для аддитивного критерия качества. Алгоритм предлагается для использования на первоначальных этапах исследования и определения первого приближения. Алгоритм предполагает поиск управления в рассматриваемой фазовой области на сетке по фазовым параметрам. Аппроксимация дискретной функции Беллмана между узлами фазовой сетки производится с помощью кусочно-линейной телевизионной развертки фазового пространства. Приведены численные алгоритмы преобразования координаты фазовой сетки в значение параметра развертки и обратно, от известного значения параметра развертки к соответствующей координате фазовой сетки. Применение алгоритма рассмотрено на примере задачи наискорейшего подъема самолета (задача на быстродействие), содержащей особые экстремали управления. Представлены структуры управления, полученные применением предлагаемого алгоритма, приведены реплики этих траекторий, полученные в рамках принципа максимума Понтрягина. Приведенный алгоритм, в целом, показал удовлетворительную сходимость к решениям по принципу максимума, удовлетворяющим условиям транспортной задачи. Однако удовлетворить всем необходимым условиям оптимальности для полученных по алгоритму структур не удалось. Среди трудностей применения алгоритма можно отметить высокую степень накопления ошибок, сложность удовлетворения граничных условий, необходимость в хорошем решателе задачи нелинейного программирования. Среди плюсов можно отметить получение большого спектра структур управления подозрительных на оптимальность, возможность параллелизма вычислений, легкий учет фазовых ограничений.
[1] Хорошавин В.С., А.В. Зотов. Особое оптимальное управление нелинейными объектами. Киров, Вятский государственный университет, 2019, 208 с.
[2] Гурман В.И., Ни Минь Кань. Вырожденные задачи оптимального управления. III. Автоматика и телемеханика, 2011, № 5, с. 32-46.
[3] Damien Goubinat. Contrôle géométrique et méthodes numériques : application au problème de montée: Doctoral dissertation: defended on 14.06.2017. Toulouse, Institut National Polytechnique de Toulouse, 2017. DOI: 10.70675/20f8d00az91c1z41c4zbe48s8a98a9d8f8c9
[4] L'Afflitto A., Haddad W.M. Optimal singular control for nonlinear semistabilization. American Control Conference. Chicago, IL, USA, 2015. DOI: 10.1109/ACC.2015.7172282
[5] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. Москва, Наука, 1983, 384 с.
[6] Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. Москва, Наука, 1973, 256 с.
[7] Cots O., Delpy P., Gergaud J., Goubinat D. On the minimum time optimal control problem of an aircraft in its climbing phase. 7th Euporean Conferencer for Aeronautics and Aerospace Sciences (EUCASS 2017). Milan, Italy, 2017, pp. 1-14.
[8] Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Москва, Мир, 1972, 544 c.
[9] Иванов В.П. Построение оптимальных траекторий летательного аппарата на множестве сингулярных кривых. Вестник ПНИПУ. Аэрокосмиче-ская техника, 2023, № 72, 42-58 с.
[10] Glizer V.Y. Robust solution of the multi-model singular linear-quadratic optimal control problem: regularization approach. Axioms, 2023, vol. 12, no. 955, 42 p. DOI: https://doi.org/10.3390/axioms12100955.
[11] Mall K., Taheri E., Prabhu P. Solving singular control problems using uniform trigonometrization method. AIChE, 2021, vol. 67, iss. 6. DOI: https://doi.org/10.1002/aic.17209.
[12] Foroozandeh Z., Shasmi M., Azmyakov V., Shafiee M. A modified pseudo-spectral method for solving trajectory optimization problems with singular arc. Mathematical Methods in the Applied Science, 2016, vol. 40, no. 5. DOI: 10.1002/mma.4097
[13] Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. Москва, Наука, 1973, 448 c.
[14] Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления. Сибирский журнал вычислительной математики, 2000, Т. 3, № 2, 182-190 pp.
[15] Васильев Ф.П. Методы оптимизации. Москва, МЦНМО, 2002, 624 c.
[16] Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы). Москва, Наука, 1978, 240 c.
[17] Jacob Williams, repositories [Электронный ресурс]. URL: https://github.com/jacobwilliams?tab=repositories (дата обращения: 06.01.2025).
Сесюкалов В.А. Моделирование структуры управления на основе дискретного принципа Беллмана в задачах с особым управлением. Математическое моделирование и численные методы, 2026, № 1, с. 3–21.
Работа выполнена в рамках гранта Российского научного фонда (https://rscf.ru/project/25-79-30009/)
Скачать статью
Количество скачиваний: 27