519.63 Разработка и тестирование методов решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений

Галанин М. П. (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН/МГТУ им.Н.Э.Баумана), Ходжаева С. Р. (МГТУ им.Н.Э.Баумана)

ПРИВЕДЕНЫ ИССЛЕДОВАНИЯ (M,K)-МЕТОДА, ОДНОСТАДИЙНОЙ КОМПЛЕКСНОЙ СХЕМЫ РОЗЕНБРОКА, МЕТОДА КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ И ЯВНОГО ЧЕТЫРЕХСТАДИЙНОГО МЕТОДА РУНГЕ — КУТТЫ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. АНАЛИЗ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ ПОКАЗАЛ, ЧТО ЛУЧШИМ ВЫБОРОМ ДЛЯ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ЖЕСТКОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОСТАДИЙНАЯ КОМПЛЕКСНАЯ СХЕМА РОЗЕНБРОКА (CROS). МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ (МКСЭ) ЯВЛЯЕТСЯ «ТОЧНЫМ» ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЛУЧШИМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫМ МЕТОДОМ ДЛЯ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ ЯВЛЯЕТСЯ (4,2)-МЕТОД. ПОСТРОЕН И ПРОТЕСТИРОВАН ВАРИАНТ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ, ОКАЗАВШИЙСЯ НЕПРИГОДНЫМ ДЛЯ ЗАДАЧ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ.


doi: 10.18698/2309-3684-2014-4-95119


Приведены исследования (m,k)-метода, одностадийной комплексной схемы Розенброка, метода конечных суперэлементов и явного четырехстадийного метода Рунге — Кутты применительно к решению жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ тестовых расчетов показал, что лучшим выбором для систем с большим числом жесткости является одностадийная комплексная схема Розенброка (CROS). Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) является «точным» для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, лучшим вспомогательным методом для его реализации является (4,2)-метод. Построен и протестирован вариант метода конечных суперэлементов для решения нелинейных задач, оказавшийся непригодным для задач большой жесткости.


[1] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 591 с.
[2] Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва, Наука, 1978, 512 с.
[3] Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф., Калиткин Н.Н. Тесты для вычислительного практикума по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Вычислительные методы и программирование, 2002, т. 3, с. 11−19.
[4] Новиков Е.А. Исследование (m,2)-методов решения жестких систем. Вычислительные технологии, 2007, т. 12, № 5, с. 103−115.
[5] Калиткин Н.Н. Полуявные схемы для задач большой жесткости. ЭНТП, сер. Б, т. VII-1, ч. 1. Москва, Янус-К, 2008, с. 153−171.
[6] Альшин А.Б, Альшина Е.А, Калиткин Н.Н, Корягина А.Б. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально-алгебраических систем. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46, № 8, с. 1392−1414.
[7] Альшин А.Б., Альшина Е.А., Лимонов А.Г. Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, т. 49, № 2, с. 270−287.
[8] Ширков П.Д. Оптимально затухающие схемы с комплексными коэффициентами для жестких систем ОДУ. Математическое моделирование, 1992, т. 4, № 8, с. 47−57.
[9] Калиткин Н.Н., Панченко С.Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем. Математическое моделирование, 1999, т. 11, № 6, с. 52−81.
[10] Rosenbrock H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. Comput J., 1963, vol. 5, № 4, рр. 329−330.
[11] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Москва, Изд-во МФТИ, 1994, 528 с.
[12] Галанин М.П., Милютин Д.С., Савенков Е.Б. Разработка, исследование и применение метода конечных суперэлементов для решения бигармонического уравнения. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2005, № 59, 26 с.
[13] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2004, № 3, 32 с.
[14] Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 5, с. 713−729.
[15] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Москва, Наука, 1989, 432 с.
[16] Hairer E., Norsett S., Wanner J. Solving ordinary differential equations. Part 2. Stiff and Differential-Algebraic Problems. New York etc., Springer, 1991.
[17] Галанин М.П., Ходжаева С.Р. Методы решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты тестовых расчетов. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 2013, № 98, 29 с.


Галанин М. П., Ходжаева С. Р. Разработка и тестирование методов решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическое моделирование и численные методы, 2014, №4 (4), c. 95-119



Скачать статью

Количество скачиваний: 868