519.6 Численное моделирование нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла минимальной мощности в однородной среде

Хайиткулов Б. Х. (Национальный университет Узбекистана)

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗМЕЩЕНИЕ, ИСТОЧНИК ТЕПЛА, НЕЯВНЫЕ СХЕМЫ, М-МЕТОД


doi: 10.18698/2309-3684-2024-1-5566


Данная работа посвящена численному решению нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла минимальной мощности. Постановка задачи требует одновременного выполнения двух условий. Первое условие ― обеспечить нахождение температуры в пределе минимальных и максимальных температур за счет оптимального размещения источников тепла с минимальной мощностью в прямоугольнике. Второе условие заключается в том, чтобы суммарная мощность источников тепла, используемых для обогрева, была минимальной. Эта задача изучалась в стационарных условиях в работах других учёных. Однако в нестационарном случае задача не рассматривалась. Поскольку найти непрерывное решение краевой задачи сложно, то ищем численное решение задачи. Трудно найти интегральный оператор с непрерывным ядром (функция Грина). Найдено численное значение функции Грина в виде матрицы. Предложен новый алгоритм численного решения ностационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью в процессах, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными параболического типа. Предложена новая методика численного решения. Построена математическая и численная модель процессов, описываемых уравнением теплопроводности с постоянными коэффициентами, заданными для первой краевой задачи. Краевая задача изучается для двумерного случая. Для численного решения задачи использовалась неявная конечно-разностная схема. По этой схеме была создана система разностных уравнений. Сформированная система разностных уравнений приведена к задаче линейного программирования. Задача линейного программирования решается с помощью М-метода. При каждом значении времени решается задача линейного программирования. Предложен новый подход к численному решению задач. Приведена общая блок-схема алгоритма решения нестационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью. Разработан алгоритм и программное обеспечение для численного решения задачи. Приведено краткое описание программного обеспечения. На конкретных примерах показано, что численное решение краевой задачи находится в заданных пределах, сумма оптимально размещенных источников тепла с минимальной мощностью дает минимум функционалу. Визуализированы результаты вычислительного эксперимента.


Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Управление нагревом металла. Москва, Металлургия, 1981, 272 c
Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. Москва, Мир, 1972, 416 c.
Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. Москва, Наука, 1978, 464 c.
Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления. Москва, Наука, 1978, 488 c.
Осипов О.В., Брусенцев А.Г. Оптимальное расположение источников тепла внутри областей сложной геометрической формы. Математическое моделирование, 2019, т. 31, № 4, c. 3‒16.
Ахметзянов А.В, Кулибанов В.Н. Задача оптимального выбора координат доразбуривания добывающих скважин на нефтяных месторождениях. Автоматика и телемеханика, 2002, № 11, с. 3–12.
Kapjor A., Durcansky P., Vantuch M. Effect of heat source placement on natural convection from cylindrical surfaces. Energies, 2020, vol. 13, iss. 17, p. 1‒13.
Hsu T.H., W Ang S.G. Mixed convection in a rectangular enclosure with discrete heat sources. Numerical Heat Transfer, Part A: Applications, 2010, vol. 38, iss. 6, p. 627‒652.
Мирская С.Ю, Сидельников В.И. Экономичный обогрев помещения как задача оптимального управления. Технико-технологические проблемы сервиса, 2014, № 4(30), с. 75–78.
Сабденов К.О, Байтасов Т.М. Оптимальное (энергоэффективное) теплоснабжение здания в системе центрального отопления. Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов, 2015, т. 326, № 8. с. 53–60.
Khaitkulov B.Kh. Homogeneous different schemes of the problem for optimum selection of the location of heat sources in a rectangular body. Solid State Technology, 2020, vol. 63, iss. 4, pp. 583−592.
Хайиткулов Б.Х. Консервативные разностные схемы по оптимальному выбору местоположения источников тепла в стержне. Математическое моделирование и численные методы, 2020, № 3, с. 85–98.
Хайиткулов Б.Х. Конечно-разностный метод решения нестационарных задач управления конвекцией-диффузией. Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика, 2021, № 57, с. 45–52.
Тухтасинов М.Т., Абдуолимова Г.М., Хайиткулов Б.Х. Граничное управление распространением тепла в ограниченном теле. Бюллетень Института математики, 2019, № 5, с. 1–10.
Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управлении процессом теплопроводностис квадратичным функционалом качества. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2017, т. 57, № 12, с. 2053–2064.
Dantzig G.B. Linear programming and extensions. Princeton, Princeton University Press, 2016, 656 p.


Хайиткулов Б. Х. Численное моделирование нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла минимальной мощности в однородной среде. Математическое моделирование и численные методы, 2024, № 1, с. 55–66.


Работа выполнена при финансовой поддержке Узбекского фонда фундаментальных исследований (проект ОТ-Ф4-33).


Скачать статью

Количество скачиваний: 65