519.6 Численное решение уравнений смешанного типав неограниченной области на плоскости

Галанин М. П. (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН/МГТУ им.Н.Э.Баумана), Ухова А. Р. (МГТУ им.Н.Э.Баумана)

УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА, НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ, ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ, КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТ


doi: 10.18698/2309-3684-2023-3-105124


Целью является построение и реализация алгоритма нахождения численного решения задачи для уравнений смешанного типа в неограниченной области. Рассматриваются задачи, в которых исследуемый процесс описывается в некоторой ограниченной области уравнением теплопроводности или волновым, а вне нее — уравнением Лапласа. Поставлены необходимые дополнительные условия в нуле, на бесконечности и условия сопряжения на границе внутренней области. Описан алгоритм нахождения численного решения задачи с волновым уравнением в ограниченной области в одномерном и двумерном случаях, задач с уравнением теплопроводности или волновым в двумерном случае. Разностные схемы построены интегро–интерполяционным методом. Задача решается в ограниченной области. На ее границе поставлены нелокальные граничные условия так, что решение поставленной задачи в ограниченной области совпадает с проекцией на нее решения задачи в неограниченной области. При этом для решения введена искусственная граница в части области, в которой процесс описывается уравнением Лапласа. Построены итерационный алгоритм и алгоритм с нелокальным граничным условием. Представлены результаты вычислений для примеров в различных областях


Koleva M.N. Numerical solution of the heat equation in unbounded domains using quasi-uniform grids. Lecture Notes in Computer Science, 2006, vol. 3743, pp. 509–517.
Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. Москва, Наука, 1987, 391 с.
Брушлинский К.В., Рябенький В.С., Тузова Н.Б. Перенос граничного условия через вакуум в осесимметричных задачах. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1992, т. 32, № 12, с. 1929–1939.
Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной гидродинамики. Москва, БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009, 200 с.
Bettess P. Infinite Elements. Paris, Penshaw Press., 1992, 264 p.
Zienkiewicz O.C., Emson C., Bettess P. A novel boundary infinite element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1983, vol. 83, no. 3, pp. 393–404.
Калиткин Н.Н., Алъшин А.Б., Алъшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. Москва, Физматлит, 2005, 223 с.
Галанин М.П., Низкая Т.В. Разработка и применение численного метода линейных эллиптических уравнений в неограниченной области. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2005, № 2, c. 1–29.
Tsynkov S.V. Numerical solution of problems on unbounded domains. A review. Applied Numerical Mathematics, 1998, vol. 27, iss. 4, pp. 465–532.
Галанин М.П., Сорокин Д.Л. О решении внешних краевых задач для уравнения Лапласа. Дифференциальные уравнения, 2020, т. 56, № 7, с. 918–926.
Галанин М.П., Сорокин Д.Л., Ухова А.Р. Методы численного решения дифференциального уравнения смешанного типа в неограниченной области. Математическое моделирование и численные методы, 2021, № 1, с. 91–109.
Галанин М.П., Сорокин Д.Л., Ухова А.Р. О решении уравнения смешанного типа в неограниченной области. Дифференциальные уравнения, 2022, т. 58, № 7, с. 921–929.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1972, 735 с.
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Москва, Изд-во МГУ, 1993, 352 с.
Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996, 228 с.
Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 591 с.
Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Москва, Наука, 1971, 552 с.
Eigen is a C++ template library for linear algebra: matrices, vectors, numerical solvers, and related algorithms [Электронный ресурс]. URL: https://eigen.tuxfamily.org (дата обращения: 31.03.2022)
Галанин М.П., Сорокин Д.Л. Разработка и применение численных методов решения задач в неограниченной области на основе третьей формулы Грина. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 2018, № 246, c. 1–24.


Галанин М.П., Ухова А.Р. Численное решение уравнений смешанного типа в неограниченной области на плоскости. Математическое моделирование и численные методы, 2023, № 3, с. 105–124.


Исследование выполнено за счёт Российского научного фонда (грант 22-21-00260).


Скачать статью

Количество скачиваний: 55