539.3 Асимптотическая теория тонких многослойных микрополярных упругих пластин

Димитриенко Ю. И. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Бойко С. В. (МГТУ им.Н.Э.Баумана)

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, МАЛЫЙ ПАРАМЕТР, МИКРОПОЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ, ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ, ИЗГИБ, ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ


doi: 10.18698/2309-3684-2023-2-3366


Рассматривается задача о построении теории расчета напряженно-деформированного состояния тонких многослойных упругих пластин в моментной (микрополярной) теории упругости. Решение данной задачи строится с помощью асимптотического анализа общих уравнений 3-х мерной квазистатической задачи моментной теории упругости. Асимптотический анализ проводится по малому геометрическому параметру, равному отношению толщины пластины к ее характерной длине. Получены рекуррентные формулировки локальных задач моментной теории упругости. Для этих задач получены явные аналитические решения. Представлен вывод осредненной системы уравнений равновесия многослойных пластин. Показано, что асимптотическая теория позволяет получить явное аналитическое выражение для всех 9 (в общем случае) компонент тензоров напряжений и моментных напряжений в пластине. Как частный случай рассмотрена задача о расчете напряженно-деформированного состояния центрально-симметричной шарнирно опертой пластины при изгибе под действием равномерно распределенного давления. Получено полное аналитическое решение этой задачи для всех ненулевых компонент тензоров напряжений и моментных напряжений. Проведен численный анализ решения задачи для тензора напряжений в случае однослойной пластины на основе полученных выражений. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с аналогичными расчетами для классической теории, выявлены сходства и различия для всех компонент тензора напряжений.


Ляв А. Математическая теория упругости. Москва, ОНТИ, 1935, 674 с.
Новацкий В. Теория упругости. Москва, Мир, 1975, 872 с.
Лурье А.И. Теория упругости. Москва, Наука, 1970, 940 с.
Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. Москва, Наука, 1979, 560 с.
Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Москва, Изд-во МГУ, 1995, 366 с.
Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. Москва, Физматлит, 2002, 416 с.
Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердых сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.
Cosserat Е., Cosserat F. Th´eorie des corps d´eformables. Herman et Fils, Paris, 1909, 226 p.
Truesdell C.A., Toupin R.A. The Classical Field Theories. Encyclopedia of Physics, vol. 3, no. 1, 1960, pp. 226-858.
Eringen A.C. Microcontinuum Field Theory. Vol. 1. Foundations and Solids. New York, Springer, 1999, 325 p.
Lakes R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua. Continuum models for materials with micro-structure, vol. 1, 1995, p. 1-22.
Eremeyev V.A., Lebedev L.P., Altenbach H. Foundations of Microplar Mechanics. Springer Briefs in Applied Sciences and Technology, 2012, pp. 1-10. DOI:10.1007/978-3-642-28353-6.
Altenbach H., Eremeyev V.A. Generalized Continua from the Theory to Engineering Applications. CISM International Centre for Mechanicsl Sciences, vol. 541, 2013, 388 p.
Nikabadze M., Ulukhanyan A., Sakhvadze G. To the mathematical modeling of deformation of micropolar thin bodies with two small sizes. Journal of Physics: Conference Series, 2019, art. no. 012040.
Никабадзе М.У. Некоторые варианты уравнений микрополярных теорий оболочек. Прикладная математика и математическая физика, 2015, т. 1, № 1, c. 101-118.
Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. International Journal Solids and Struct, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 333-350.
Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.
Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore, London, World Scintific Publishing, 2000, 739 p.
Kolpakov A.G. Stressed composite structures: Homogenized models for thinwalled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Springer Verlag, 2004, 228 p.
Назаров С.А., Свирс Г.Х., Слуцкий А.С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник, 2011, т. 202, № 8, с. 41–80.
Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86–99.
Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260–282.
Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В., Губарева Е.А. Асимптотическая теория термоползучести многослойных тонких пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 4, с. 18–36.
Димитриенко Ю. И., Губарева Е. А., Сборщиков С. В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, c. 36–56.
Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D., Sborschikov S.V. Multiscale HierarchicalModeling of Fiber Reinforced Composites by Asymptotic Homogenization Method. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, iss. 145-148, рр. 7211–7220.
Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D. Modeling of the thin composite laminates with general anisotropy under harmonic vibrations by the asymptotic homogenization method. Journal for Multiscale Computational Engineering, 2017, vol. 15, iss. 3, pp. 219–237.
Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Пичугина А.Е., Белькова К.В., Борин Д.М. Моделирование термонапряжений в композитных оболочках на основе асимптотической теории. Часть 2. Расчет цилиндрических оболочек. Математическое моделирование и численные методы, 2022, № 4, с. 3–30.
Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Москва, Высшая школа, 2001, 576 с.
Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ. Т.1. Механика сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 367 c


Димитриенко Ю.И., Бойко С.В. Асимптотическая теория многослойных тонких микрополярных упругих пластин. Математическое моделирование и численные методы, 2023, № 2, с. 33–66.



Скачать статью

Количество скачиваний: 121