519.6 Математическое моделирование нестационарной задачи конвекции–диффузии об оптимальном выборе местоположения источников тепла
Хайиткулов Б. Х. (Национальный университет Узбекистана)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ, ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗМЕЩЕНИЕ, ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА, УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ, М-МЕТОД
doi: 10.18698/2309-3684-2023-1-3242
Данная работа посвящена численному решению нестационарной задачи оптимального размещения источников тепла минимальной мощности. Постановка задачи требует одновременного выполнения двух условий. Первое условие — обеспечить нахождение температуры в пределе минимальных и максимальных температур за счет оптимального размещения источников тепла с минимальной мощностью в параллелепипеде. Второе условие заключается в том, чтобы суммарная мощность источников тепла, используемых для обогрева, была минимальной. Эта задача изучалась в стационарных условиях в работах других учёных. Однако в нестационарном случае задача не рассматривалось. Поскольку найти непрерывное решение краевой задачи сложно, то ищем численное решение задачи. Трудно найти интегральный оператор с непрерывным ядром (функция Грина). Найдено численное значение функции Грина в виде матрицы. Предложен новый алгоритм численного решения нестационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью в процессах, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными параболического типа. Предложена новая методика численного решения. Построена математическая и численная модель процессов, описываемых уравнением конвекции-диффузии, заданным для первой краевой задачи. Краевая задача изучается для трёхмерного случая. Для численного решения задачи использовалась неявная конечно-разностная схема. По этой схеме была создана система разностных уравнений. Сформированная система разностных уравнений приведена к задаче линейного программирования. Задача линейного программирования решается с помощью М-метода. При каждом значении времени решается задача линейного программирования. Предложен новый подход к численному решению задач. Приведена общая блок-схема алгоритма решения нестационарной задачи оптимального управления размещением источников тепла с минимальной мощностью. Разработан алгоритм и программное обеспечение для численного решения задачи. Приведено краткое описание программного обеспечения. На конкретных примерах показано, что численное решение краевой задачи находится в заданных пределах, сумма оптимально размещенных источников тепла с минимальной мощностью дает минимум функционалу. Визуализированы результаты вычислительного эксперимента.
Ахметзянов А.В., Кулибанов В.Н. Задача оптимального выбора координат доразбуривания добывающих скважин на нефтяных месторождениях. Автоматика и телемеханика, 2002, No 11, c. 3–12.
Мирская С.Ю, Сидельников В.И. Экономичный обогрев помещения как задача оптимального управления. Технико-технологические проблемы сервиса, 2014, No 4(30), с. 75–78.
Сабденов К.О, Байтасов Т.М. Оптимальное (энергоэффективное) теплоснабжение здания в системе центрального отопления. Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов, 2015, т. 326, No 8, с. 53–60.
Исламов Г.Г, Коган Ю.В. Дифференциально-разностная задача управления процессом диффузии. Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2008, вып. 1, с. 121–126.
Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управлении процессом теплопроводности с квадратичным функционалом качества. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2017, т. 57, No 12, с. 2053–2064.
Хайиткулов Б.Х. Конечно-разностный метод решения нестационарных задач управления конвекцией-диффузией. Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика, 2021, No 57, с. 45–52.
Khaitkulov B.Kh. Homogeneous different schemes of the problem for optimum selection of the location of heat sources in a rectangular body. Solid State Technology, 2020, vol. 63, iss. 4, pp. 583−592.
Хайиткулов Б.Х. Консервативные разностные схемы по оптимальному выбору местоположения источников тепла в стержне. Математическое моделирование и численные методы, 2020, No 3, с. 85–98.
Тухтасинов М.Т., Абдуолимова Г.М., Хайиткулов Б.Х. Граничное управле- ние распространением тепла в ограниченном теле. Бюллетень Института математики, 2019, No 5, с. 1–10.
Лебо И.Г., Симаков А.И. Решение уравнения конвекция-диффузия для моделирования теплопередачи в высокотемпературных газах и плазме. Вестник МГТУ МИРЭА, 2019, No 3(4), с. 195–205.
Вабищевич П.Н., Самарский А.А. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, т. 38, No 2, с. 207–219.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. Москва, ЛИБРОКОМ, 2015, 248 с.
Вабищевич П.Н., Васильева М.В. Явно-неявные схемы для задач конвекции-диффузии-реакции. Сибирский журнал вычислительной математики, 2012, т. 15, No 4, с. 359–369.
Dantzig G.B. Linear programming and extensions. Princeton, Princeton University Press, 2016, 656 p.
Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: учебник. ‒ 3-е изд. Москва, Финансы и статистика, 2009, 640 с
Хайиткулов Б.Х. Математическое моделирование нестационарной задачи конвекции–диффузии об оптимальном выборе местоположения источников тепла. Математическое моделирование и численные методы, 2023, No 1, с. 32–42.
Работа выполнена при финансовой поддержке Узбекского фонда фундаментальных исследований (проект ОТ-Ф4-33).
Скачать статью
Количество скачиваний: 94