519.62 Применение одношагового метода Галеркина для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями
Русских С. В. (ФГБУ ВО "Московский авиационный институт"), Шклярчук Ф. Н. (ФГБУ ВО "Московский авиационный институт")
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА, ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ, ОДНОШАГОВЫЙ МЕТОД ГАЛЕРКИНА
doi: 10.18698/2309-3684-2022-3-1832
Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Предполагается, что на рассматриваемом интервале времени решение системы является достаточно гладкими — без разрывов, столкновений и бифуркаций. Из неоднородной системы уравнений выделяются в явном виде члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений и члены, зависящие от этих переменных нелинейно. Предлагается новый подход для численного решения шаговым методом начальной задачи, описываемой такой системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы функций, удовлетворяющих начальным условиям: линейного решения Эйлера и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближённо в смысле слабого решения по методу Галеркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые решаются методом итераций, начиная в первом приближении с линейного решения. Полученное решение в конце данного шага используется в качестве начальных условий на последующем шаге. В качестве примера рассмотрено одно однородное дифференциальное уравнение второго порядка без первой производной с сильной кубической нелинейностью по координате (при максимальной амплитуде нелинейная сила в два раза превышает линейную силу). Это уравнение имеет точное периодическое решение в виде интеграла энергии консервативной системы, которое используется для оценки точности численных решений, полученных методами Галеркина, Рунге-Кутта и Адамса второго порядка, а также методами Radau5 и BDF на различных интервалах времени (до 8000 периодов свободных колебаний системы) при использовании различных постоянных шагов интегрирования (от 0,0025 долей периода). При этом в методе Галеркина на каждом шаге использовалось четыре одинаковых корректирующих функций в виде полиномов от второй до пятой степеней. Показано, что на больших интервалах времени вычислений метод Галеркина обладает более высокой точностью по сравнению с другими рассмотренными численными методами. Поэтому он может быть использован для численного решения нелинейных задач, в которых требуется решать их на больших интервалах времени; например при расчете установившихся предельных циклов нелинейных колебаний и хаотических нелинейных колебаний со странными аттракторами.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Москва, Наука, 1967, 368 с.
Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва, Лаборатория базовых знаний, 2000, 630 с.
Коллати Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Москва, Издательство иностранной литературы, 1953, 460 с.
Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Москва, Мир, 1990, 512 с.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально–алгебраические задачи. Москва, Мир, 1999, 685 с.
Скворцов Л.М. Явный многошаговый метод численного решения жестких дифференциальных уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, № 6, с. 259–267.
Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численные методы решения задач Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе многозвенных интерполяционных полиномов Эрмита. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, № 2, с. 234–244.
Булатов М.В., Тыглиян А.В., Филлипов С.С. Об одном классе одношаговых одностадийных методов для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011, т. 51, № 7,с. 1251–1265.
Скворцов Л.М. Неявный метод пятого порядка для численного решения дифференциально–алгебраических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, т. 55, № 6, с. 978–984.
Белов А.А., Калиткин Н.Н. Выбор шага по кривизне для жестких задач Коши. Математическое моделирование, 2016, т. 28, № 11, с. 97–112.
Волков-Богородский Д.Б., Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.Н. О неявных методах интегрирования начальных задач для параметризированных систем обыкновенных дифференциальных уравненийвторого порядка. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 11, с. 1684–1696.
Булатов М.В., Горбунов В.К., Мартыненко Ю.В., Конг Н.Д. Вариационные методы к численному решению дифференциально–алгебраических уравнений. Вычислительная техника, 2010, т. 15, № 5, с. 3–13.
Чистяков В.Ф., Чистякова Е.В. Применение метода наименьших квадратов для решения линейных дифференциально–алгебраических уравнений. Сибирский журнал вычислительной математики, 2013, т. 16, № 1, с. 81–95.
Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений. Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 1, с. 69–85.
Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Об одном аналитическом методе приближенного решения канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика. Механика, 2019, № 3, с. 65–69.
Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никульчев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционных полиномов Эрмита. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, т. 38, № 10, с. 1665–1670.
Латыпов А.Ф., Попик О.В. Численный метод решения задачи Коши для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений на основе многозвенных интерполяционных полиномов Эрмита. Вычислительная техника, 2011, т. 16, № 2, с.78–85.
Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Ленинград, Судостроение. 1984, 240 с.
Ioriatti M., Dumbser M. Semi-implicit staggered discontinuous Galerkinschemes for axially symmetric viscous compressible flows in elastic tube. Computers and Fluids, 2018, vol.167, pp. 166–179.
Куликов Г.Ю., Хрусталёва Е.Ю. Об автоматическом управлении длиной шага и порядком в одношаговых коллокационных методах со старшими производными. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2010, т. 50, № 6, с. 1060–1077.
Вайнер Р., Куликов Г.Ю. Эффективное управление точностью численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и оптимальные интерполяционные равнозначные блочные методы с переменным шагом. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014, т. 54, № 4, с. 591–607.
Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом. Нижний Новгород, Издательство ННГУ, 2000, 118 с.
Belytschko T. A survey of numerical methods and computer programs for dynamic structural analysis. Nuclear Engineering and Design, 1976, vol. 37, iss. 1, pp. 23–34.
Houbolt J.C. A recurrence matrix solution for the dynamic response of elastic aircraft. Journal of Aeronautical Sciences, 1950, vol. 17, pp. 540–550.
Newmark N.M. A method of computation for structural dynamics. ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division, 1959, vol. 85, pp. 67–94.
Bathe K.J., Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. New York, Prentice-Hall, 1976, 544 p.
Krieg R.D., Key S.W. Transient shell response by numerical time integration. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1973, vol. 7, no. 3, pp. 273–286.
Русских С.В., Шклярчук Ф.Н. Применение одношагового метода Галеркина для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Математическое моделирование и численные методы, 2022, № 3, с. 18–32.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 22-29-01206).
Скачать статью
Количество скачиваний: 162