517.9+532+536 Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения гиперболического типа с запаздыванием: точные решения, глобальная неустойчивость

Полянин А. Д. (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН/МГТУ им.Н.Э.Баумана/НИЯУ МИФИ), Сорокин В. Г. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Вязьмин А. В. (Московский государственный машиностроительный университет)

РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОБОБЩЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ, НЕЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ГЛОБАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ.


doi: 10.18698/2309-3684-2014-4-5373


Исследованы нелинейные гиперболические реакционно-диффузионные уравнения с переменным коэффициентом переноса при наличии запаздывания. Приведены некоторые точные решения с обобщенным разделением переменных. Большинство рассматриваемых уравнений содержат функциональный произвол. Получены условия глобальной нелинейной неустойчивости решений широкого класса систем гиперболических реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием. Показано, что при выполнении условий неустойчивости задачи с начальными данными и некоторые начально-краевые задачи с запаздыванием являются некорректными по Адамару. Решена обобщенная задача Стокса с периодическим граничным условием, описываемая линейным диффузионным уравнением с запаздыванием.


[1] Лыков А.В. Теория теплопроводности. Москва, Высшая школа, 1967, 600 с.
[2] Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Москва, Атомиздат, 1979, 416 с.
[3] Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A. Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering. London, Taylor & Francis, 2002, 387 p.
[4] Cattaneo C. A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation. Comptes Rendus, 1958, vol. 247, pp. 431−433.
[5] Vernotte P. Some possible complications in the phenomena of thermal conduction. Comptes Rendus, 1961, vol. 252, pp. 2190−2191.
[6] Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. Москва, Факториал, 1998, 368 с.
[7] Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York, Springer, 1996, 119 p.
[8] Wu J., Zou X. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay. J. Dynamics & Dif. Equations, 2001, vol. 13, no. 3, pp. 651−687.
[9] Faria T., Trofimchuk S. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction– diffusion equation with delay. J. Dif. Equations, 2006, vol. 228, pp. 357−376.
[10] Smith H.L. An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences. New York, Springer, 2010, 182 p.
[11] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact separable solutions of delay reaction– diffusion equations and other nonlinear partial functional-differential equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, pp. 409−416.
[12] Kyrychko Y.N. Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications. J. of Vibration and Control, 2010, vol. 16, no. 7, 8, pp. 943−960.
[13] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact solutions of linear and nonlinear differentialdifference heat and diffusion equations with finite relaxation time. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2013, vol. 54, pp. 115−126.
[14] Polyanin A.D., Zhurov A.I. New generalized and functional separable solutions to nonlinear delay reaction-diffusion equations. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 59, pp. 16−22.
[15] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Дифференциально-разностные модели и уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации. Теор. основы хим. технологии, 2013, т. 47, № 3, с. 271−278.
[16] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации. Постановки задач и некоторые решения. Известия вузов. Химия и химическая технология, 2013, т. 56, № 9, с. 102−108.
[17] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Generalized and functional separable solutions to nonlinear delay Klein – Gordon equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, no. 8, pp. 2676−2689.
[18] Полянин А.Д., Сорокин В.Г. Точные решения нелинейных реакционно-диффузионных уравнений гиперболического типа с запаздыванием. Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», 2014, т. 3, № 2, с. 141−148.
[19] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений. Теоретические основы химической технологии, 2013, т. 47, № 4, с. 386−394.
[20] Polyanin A.D., Zhurov A.I. The functional constraints method: Application to non-linear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients, Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 67, pp. 267–277.
[21] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Nonlinear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients: Exact methods and new solutions. Applied Mathematics Letters, 2014, vol. 37, pp. 43−48.
[22] Smith H. L., Zhao X.-Q. Global asymptotic stability of travelling waves in delayed reaction-diffusion equations. SIAM J. Math. Anal, 2000, vol. 31, pp. 514−534.
[23] Mei M., So J., Li M., Shen S. Asymptotic stability of travelling waves for Nicholson’s blowflies equation with diffusion. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 2004, vol. 134, pp. 579−594.
[24] Полянин А.Д. Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно диффузионных систем уравнений с запаздыванием. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 4(16), с. 1−14. URL: http://engjournal.ru/catalog/fundamentals/math/662.html
[25] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Non-linear instability and exact solutions to some delay reaction-diffusion systems. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 62, pp. 33−40.
[26] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Москва, Мир, 1967, 548 с.
[27] Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York, Springer, 1977, 505 p.
[28] Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Boston, Academic Press, 1993, 398 p.
[29] Cui B.T., Yu Y.H., Lin S.Z. Oscillations of solutions of delay hyperbolic differential equations. Acta Math. Appl. Sinica, 1996, vol. 19, pp. 80−88.
[30] Wang J., Meng F., Liu S. Interval oscillation criteria for second order partial differential equations with delays. J. Comp. & Appl. Math., 2008, vol. 212, no. 2, pp. 397−405.
[31] Cui S., Xu Z. Interval oscillation theorems for second order nonlinear partial delay differential equations. Dif. Equations & Appl., 2009, vol. 1, no. 3, pp. 379−391.
[32] Jackiewicza Z., Zubik-Kowal B. Spectral collocation and waveform relaxation methods for nonlinear delay partial differential equations. Applied Numerical Mathematics, 2006, vol. 56, no. 3, 4, pp. 433−443.
[33] Zhang Q., Zhang C. A compact difference scheme combined with extrapolation techniques for solving a class of neutral delay parabolic differential equations. Applied Mathematics Letters, 2013, vol. 26, no. 2, pp. 306−312.
[34] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations, 2nd еdition. Boca Raton, Chapman & Hall / CRC Press, 2012, 1912 p.
[35] Galaktionov V.A. , Svirshchevskii S.R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2007, 498 p.
[36] Pucci E., Saccomandi G. Evolution equations, invariant surface conditions and functional separation of variables. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2000, vol. 139, pp. 28−47.
[37] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional constraints method for constructing exact solutions to delay reaction-diffusion equations and more complex nonlinear equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, no. 3, pp. 417−430.


Полянин А. Д., Сорокин В. Г., Вязьмин А. В. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения гиперболического типа с запаздыванием: точные решения, глобальная неустойчивость. Математическое моделирование и численные методы, 2014, №4 (4), c. 53-73



Скачать статью

Количество скачиваний: 732