517.9+532+536 Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения гиперболического типа с запаздыванием: точные решения, глобальная неустойчивость

Полянин А. Д. (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН), Сорокин В. Г. (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН), Вязьмин А. В. (Московский государственный машиностроительный университет)

РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОБОБЩЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ, НЕЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ГЛОБАЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ.


doi: 10.18698/2309-3684-2014-4-5373


Исследованы нелинейные гиперболические реакционно-диффузионные уравнения с переменным коэффициентом переноса при наличии запаздывания. Приведены некоторые точные решения с обобщенным разделением переменных. Большинство рассматриваемых уравнений содержат функциональный произвол. Получены условия глобальной нелинейной неустойчивости решений широкого класса систем гиперболических реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием. Показано, что при выполнении условий неустойчивости задачи с начальными данными и некоторые начально-краевые задачи с запаздыванием являются некорректными по Адамару. Решена обобщенная задача Стокса с периодическим граничным условием, описываемая линейным диффузионным уравнением с запаздыванием.


[1] Лыков А.В. Теория теплопроводности. Москва, Высшая школа, 1967, 600 с.
[2] Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Москва, Атомиздат, 1979, 416 с.
[3] Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A. Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering. London, Taylor & Francis, 2002, 387 p.
[4] Cattaneo C. A form of heat conduction equation which eliminates the paradox of instantaneous propagation. Comptes Rendus, 1958, vol. 247, pp. 431−433.
[5] Vernotte P. Some possible complications in the phenomena of thermal conduction. Comptes Rendus, 1961, vol. 252, pp. 2190−2191.
[6] Полянин А.Д., Вязьмин А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. Москва, Факториал, 1998, 368 с.
[7] Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York, Springer, 1996, 119 p.
[8] Wu J., Zou X. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay. J. Dynamics & Dif. Equations, 2001, vol. 13, no. 3, pp. 651−687.
[9] Faria T., Trofimchuk S. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction– diffusion equation with delay. J. Dif. Equations, 2006, vol. 228, pp. 357−376.
[10] Smith H.L. An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences. New York, Springer, 2010, 182 p.
[11] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact separable solutions of delay reaction– diffusion equations and other nonlinear partial functional-differential equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, pp. 409−416.
[12] Kyrychko Y.N. Hogan S.J. On the use of delay equations in engineering applications. J. of Vibration and Control, 2010, vol. 16, no. 7, 8, pp. 943−960.
[13] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exact solutions of linear and nonlinear differentialdifference heat and diffusion equations with finite relaxation time. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2013, vol. 54, pp. 115−126.
[14] Polyanin A.D., Zhurov A.I. New generalized and functional separable solutions to nonlinear delay reaction-diffusion equations. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 59, pp. 16−22.
[15] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Дифференциально-разностные модели и уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации. Теор. основы хим. технологии, 2013, т. 47, № 3, с. 271−278.
[16] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации. Постановки задач и некоторые решения. Известия вузов. Химия и химическая технология, 2013, т. 56, № 9, с. 102−108.
[17] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Generalized and functional separable solutions to nonlinear delay Klein – Gordon equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, no. 8, pp. 2676−2689.
[18] Полянин А.Д., Сорокин В.Г. Точные решения нелинейных реакционно-диффузионных уравнений гиперболического типа с запаздыванием. Вестник национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», 2014, т. 3, № 2, с. 141−148.
[19] Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений. Теоретические основы химической технологии, 2013, т. 47, № 4, с. 386−394.
[20] Polyanin A.D., Zhurov A.I. The functional constraints method: Application to non-linear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients, Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 67, pp. 267–277.
[21] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Nonlinear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients: Exact methods and new solutions. Applied Mathematics Letters, 2014, vol. 37, pp. 43−48.
[22] Smith H. L., Zhao X.-Q. Global asymptotic stability of travelling waves in delayed reaction-diffusion equations. SIAM J. Math. Anal, 2000, vol. 31, pp. 514−534.
[23] Mei M., So J., Li M., Shen S. Asymptotic stability of travelling waves for Nicholson’s blowflies equation with diffusion. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 2004, vol. 134, pp. 579−594.
[24] Полянин А.Д. Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно диффузионных систем уравнений с запаздыванием. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 4(16), с. 1−14. URL: http://engjournal.ru/catalog/fundamentals/math/662.html
[25] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Non-linear instability and exact solutions to some delay reaction-diffusion systems. Int. J. Non-Linear Mechanics, 2014, vol. 62, pp. 33−40.
[26] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Москва, Мир, 1967, 548 с.
[27] Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York, Springer, 1977, 505 p.
[28] Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Boston, Academic Press, 1993, 398 p.
[29] Cui B.T., Yu Y.H., Lin S.Z. Oscillations of solutions of delay hyperbolic differential equations. Acta Math. Appl. Sinica, 1996, vol. 19, pp. 80−88.
[30] Wang J., Meng F., Liu S. Interval oscillation criteria for second order partial differential equations with delays. J. Comp. & Appl. Math., 2008, vol. 212, no. 2, pp. 397−405.
[31] Cui S., Xu Z. Interval oscillation theorems for second order nonlinear partial delay differential equations. Dif. Equations & Appl., 2009, vol. 1, no. 3, pp. 379−391.
[32] Jackiewicza Z., Zubik-Kowal B. Spectral collocation and waveform relaxation methods for nonlinear delay partial differential equations. Applied Numerical Mathematics, 2006, vol. 56, no. 3, 4, pp. 433−443.
[33] Zhang Q., Zhang C. A compact difference scheme combined with extrapolation techniques for solving a class of neutral delay parabolic differential equations. Applied Mathematics Letters, 2013, vol. 26, no. 2, pp. 306−312.
[34] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations, 2nd еdition. Boca Raton, Chapman & Hall / CRC Press, 2012, 1912 p.
[35] Galaktionov V.A. , Svirshchevskii S.R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2007, 498 p.
[36] Pucci E., Saccomandi G. Evolution equations, invariant surface conditions and functional separation of variables. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2000, vol. 139, pp. 28−47.
[37] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional constraints method for constructing exact solutions to delay reaction-diffusion equations and more complex nonlinear equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, vol. 19, no. 3, pp. 417−430.


Полянин А. Д., Сорокин В. Г., Вязьмин А. В. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения гиперболического типа с запаздыванием: точные решения, глобальная неустойчивость. Математическое моделирование и численные методы, 2014, №4 (4), c. 53-73



Скачать статью

Количество скачиваний: 742