517.925:519.2:519.6 Моделирование систем дифференциальных уравнений с динамическими инвариантами

Карачанская Е. В. (Дальневосточный государственный университет путей сообщения/Тихоокеанский государственный университет)

ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ, СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА, MATHCAD


doi: 10.18698/2309-3684-2019-1-98117


В статье рассматривается метод построения систем дифференциальных урав-нений, имеющих заданный набор гладких функций в качестве первых интегралов - глобальных инвариантов. Данный алгоритм позволяет строить как системы де-терминистических дифференциальных уравнений, так и стохастических диффе-ренциальных уравнений Ито. Стохастические уравнения могут быть диффузион-ными (с винеровскими возмущениями) или диффузионными со скачками, вызванными скачками пуассоновского процесса. Предложенный алгоритм опирается на предыдущие работы автора и не имеет аналогов. Приведено детальное описание алгоритма в фазовых пространствах размерности 2 и 3. Представляется MathCad-программа, автоматизирующая процесс построения систем детермини-стических дифференциальных уравнений и систем стохастических дифференци-альных уравнений Ито с винеровским процессом. Приведены примеры автомати-зированного построения систем дифференциальных уравнений разных типов. Пра-вильность построения систем уравнений проверяется с помощью численного ре-шения полученного уравнения и определения значения функции, объявленной первым интегралом, в зависимости от решения этой системы (для детерминистических- уравнений) или реализации решения (для стохастических уравнений). Решение си-стем уравнений производится классическими методами - Эйлера, Эйлера-Маруямы и с использованием метода статистического моделирования Монте-Карло. Решения уравнений и значения функции - инварианта представлены графи-чески. Применение представленной теории и разработанной программы MathCad продемонстрировано на примере построения программных управлений с вероят-ностью 1 (PCP1) для стохастической SIR-модели. Результаты работы могут быть использованы для построения модели динамической системы с инварианта-ми и дальнейшего исследования таких систем.


[1] Дубко В.А. Первый интеграл системы стохастических дифференциальных уравнений. Киев, Инcтитут математики АН УССР, 1978, 21 c.
[2] Еругин Н.П. Построение всего множества дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. Прикладная математика и механика, 1952, т.16, № 6, с. 658–670.
[3] Тлеубергенов М.И. Об обратной задаче восстановления стохастических диффе-ренциальных систем. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 5, c. 714–716.
[4] Дубко В.А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1989, 185с.
[5] Карачанская Е.В. Построение программных управлений динамической системы на основе множества ее первых интегралов. Современная математика. Фундаментальные направления, 2011, № 12, с. 125–133.
[6] Чалых Е.В. Построение множества программных управлений с вероятностью 1 для одного класса стохастических систем. Автоматика и телемеханика, 2009, т. 70, № 8, с. 110–122.
[7] Карачанская Е.В. Построение множества дифференциальных уравнений с заданным множеством первых интегралов. Вестник Тихоокеанского государственного университета, 2011, № 3 (22), c. 47–56.
[8] Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова Думка, 1968, 354 c.
[9] Карачанская Е.В. Обобщенная формула Ито – Вентцеля для случая нецентрированной пуассоновской меры, стохастический первый интеграл и первый интеграл. Математические труды, 2014, т. 17, № 1, с. 99–122.
[10] Averina T., Karachanskaya E., Rybakov K. Statistical analysis of diffusion systems with invariants. Russian journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 2018, vol. 33, pp. 1–13.
[11] Карачанская Е.В., Петрова А.П. Применение программного управления с вероятностью 1 для некоторых задач финансовой математики. Математические заметки СВФУ, 2018, т. 25, № 1, с. 25–38.
[12] Карачанская Е.В. Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями. Вестник Тихоокеанского государственного университета, 2011, № 2 (21), с. 51–60.
[13] Карачанская Е.В. Доказательство обобщенной формулы Ито – Вентцеля с помощью дельта – функции и плотности нормального распределения. Ма-тематические заметки СВФУ, 2014, т. 21, № 3, с. 46–59.
[14] Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. Санкт-Петербург, Изд-во политехнического университета, 2010, 816 с.
[15] Kermack W.O., McKendrick A. Contributions to the Mathematical Theory of Epidemics. Proc. Royal Society, 1927, A 115, pp.700-721
[16] Романюха А.А. Математические модели в иммунологии и эпидемиологии инфекционных заболеваний. Москва, БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015, 256 с.


Карачанская Е.В. Моделирование систем дифференциальных уравнений с ди-намическими инвариантами. Математическое моделирование и численные мето-ды, 2019, № 1, с. 98–117.


Работа выполнена в рамках проекта №24С/2019 Хабаровского краевого фонда поддержки научных исследований.


Скачать статью

Количество скачиваний: 759