517.9 Методы функционального разделения переменных и их применение в математической физике
Полянин А. Д. (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН/МГТУ им.Н.Э.Баумана/НИЯУ МИФИ)
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ, ОБОБЩЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ, ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
doi: 10.18698/2309-3684-2019-1-6597
Дан краткий обзор существующих модификаций метода функционального разде-ления переменных. Предлагается новый более общий подход для построения точ-ных решений нелинейных уравнений математической физики и механики, который основан на неявных преобразованиях интегрального типа в комбинации с использо-ванием принципа расщепления. Эффективность такого подхода иллюстрируется на нелинейных диффузионных уравнениях, которые содержат реакционные и кон-вективные члены с переменными коэффициентами. Основное внимание сосредо-точено на уравнениях достаточно общего вида, которые зависят от двух или трех произвольных функций (подобные нелинейные уравнения представляют наибольшие трудности для анализа). Описано много новых точных решений с функциональным разделением переменных и решений типа обобщенной бегущей волны. Полученные решения могут быть использованы для тестирования различ-ных численных и приближенных аналитических методов математической физики.
[1] Grundland A.M., Infeld E. A family of non-linear Klein–Gordon equations and their solutions. J. Math. Phys., 1992, vol. 33, pp. 2498–2503.
[2] Miller W. (Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equa-tions in two dimensions. J. Phys. A, 1993, vol. 26, pp. 1901–1913.
[3] Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation. J. Phys. A, 1994, vol. 27, pp. L291–L297.
[4] Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разде-ление переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями. Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 2, с. 253–261.
[5] Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 1995, vol. 125, № 2, pp. 225–246.
[6] Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics, Dordrecht, Kluwer, 1998, 396 p.
[7] Doyle Ph.W., Vassiliou P.J. Separation of variables for the 1-dimensional non-linear diffusion equation. Int. J. Non-Linear Mech., 1998, vol. 33, № 2, pp. 315–326.
[8] Pucci E., Saccomandi G. Evolution equations, invariant surface conditions and functional separation of variables. Physica D, 2000, vol. 139, pp. 28–47.
[9] Polyanin A.D. Exact solutions to the Navier–Stokes equations with generalized separation of variables. Doklady Physics, 2001, vol. 46, № 10, pp. 726–731.
[10] Estevez P.G., Qu C., Zhang S. Separation of variables of a generalized porous medium equation with nonlinear source. J. Math. Anal. Appl., 2002, vol. 275, pp. 44–59.
[11] Estevez P.G., Qu C.Z. Separation of variables in nonlinear wave equations with variable wave speed. Theor. Math. Phys., 2002, vol. 133, № 2, pp. 1490–1497.
[12] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Москва, Физматлит, 2005, 256 с.
[13] Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2007, 498 p.
[14] Hu J., Qu C. Functionally separable solutions to nonlinear wave equations by group foliation method. J. Math. Anal. Appl., 2007, vol. 330, pp. 298–311.
[15] Jia H., Zhao W.X.X., Li Z. Separation of variables and exact solutions to non-linear diffusion equations with dependent convection and absorption. J. Math. Anal. Appl., 2008, vol. 339, pp. 982–995.
[16] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equa-tions, 2nd Edition. Boca Raton, CRC Press, 2012, 1912 p.
[17] Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional and generalized separable solutions to unsteady Navier–Stokes equations. Int. J. Non-Linear Mech., 2016, vol. 79, pp. 88–98.
[18] Polyanin A.D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients. Int. J. Non-Linear Mech., 2019, vol. 111, pp. 95–105.
[19] Polyanin A.D. Construction of functional separable solutions in implicit formfor non-linear Klein–Gordon type equations with variable coefficients. Int. J. Non-Linear Mech., 2019, vol. 114, pp. 29–40.
[20] Полянин А.Д., Журов А.И. Решения с функциональным разделением пере-менных двух классов нелинейных уравнений математической физики. До-клады АН, 2019, т. 486, № 3, с. 19–23.
[21] Polyanin A.D. Comparison of the effectiveness of different methods for con-structing exact solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions. Mathematics, 2019, vol. 7, № 5, 386.
[22] Polyanin A.D. Functional separable solutions of nonlinear reaction-diffusion equations with variable coefficients. Applied Math. Comput., 2019, vol. 347. pp. 282–292.
[23] Polyanin A.D. Functional separable solutions of nonlinear convection-diffusion equations with variable coefficients. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2019, vol. 73, pp. 379–390.
[24] Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation. J. Math. Mech., 1969, vol. 18, pp. 1025–1042.
[25] Levi D., Winternitz P. Nonclassical symmetry reduction: Example of the Bous-sinesq equation. J. Phys. A, 1989, vol. 22, pp. 2915–2924.
[26] Nucci M.C., Clarkson P.A. The nonclassical method is more general than the di-rect method for symmetry reductions. An example of the Fitzhugh–Nagumo equation. Phys. Lett. A, 1992, vol. 164, pp. 49–56.
[27] Clarkson P.A. Nonclassical symmetry reductions for the Boussinesq equation. Chaos, Solitons & Fractals, 1995, vol. 5, pp. 2261–2301.
[28] Olver P.J., Vorob'ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries. In: CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 3 (ed. N.H. Ibragimov), Boca Raton, CRC Press, 1996, pp. 291–328.
[29] Clarkson P.A., Ludlow D.K., Priestley T.J. The classical, direct and nonclassical methods for symmetry reductions of nonlinear partial differential equations. Methods Appl. Anal., 1997, vol. 4, № 2, pp. 173–195.
[30] Olver P.J. Direct reduction and differential constraints. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1994, vol. 444, pp. 509–523.
[31] Kaptsov O.V., Verevkin I.V. Differential constraints and exact solutions of non-linear diffusion equations. J. Phys. A: Math. Gen., 2003, vol. 36, pp. 1401–1414.
[32] Dorodnitsyn V.A. On invariant solutions of the equation of non-linear heat con-duction with a source. USSR Comput. Math. & Math. Phys., 1982, vol. 22, № 6, pp. 115–122.
[33] Kudryashov N.A. On exact solutions of families of Fisher equations. Theor. Math. Phys., 1993, vol. 94, № 2, pp. 211–218.
[34] Galaktionov V.A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new explicit solutions. Nonlinear Anal. Theor. Meth. Appl., 1994, vol. 23, pp. 1595–621.
[35] Gandarias M.L., Romero J.L., Diaz J.M. Nonclassical symmetry reductions of a porous medium equation with convection. J. Phys. A: Math. Gen., 1999, vol. 32, pp. 1461–1473.
[36] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations. J. Physics A: Math. Gen., 2004, vol. 37, pp. 7547–7565.
[37] Ivanova N.M., Sophocleous C. On the group classification of variable-coefficient nonlinear diffusion-convection equations. J. Comput. Appl. Math., 2006, vol. 197, № 2, pp. 322–344.
[38] Vaneeva O.O., Johnpillai A.G., Popovych R.O., Sophocleous C. Extended group analysis of variable coefficient reaction-diffusion equations with power nonline-arities. J. Math. Anal. Appl., 200 7, vol. 330, № 2, pp. 1363–1386.
[39] Ivanova N.M. Exact solutions of diffusion-convection equations. Dynamics of PDE, 2008, vol. 5, № 2, pp. 139–171.
[40] Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group analysis and exact solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source. Acta Appl. Math., 2009, vol. 106, № 1, pp. 1–46.
[41] Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Extended group analysis of var-iable coefficient reaction-diffusion equations with exponential nonlinearities. J. Math. Anal. Appl., 2012, vol. 396, pp. 225–242.
[42] Cherniha R.M., Pliukhin O. New conditional symmetries and exact solutions of reaction-diffusion-convection equations with exponential nonlinearities. J. Math. Anal. Appl., 2013, vol. 403, pp. 23–37.
[43] Bradshaw-Hajek B.H., Moitsheki R.J. Symmetry solutions for reaction-diffusion equations with spatially dependent diffusivity. Appl. Math. Comput., 2015, vol. 254, pp. 30–38.
[44] Cherniha R., Serov M., Pliukhin O. Nonlinear Reaction-Diffusion-Convection Equations: Lie and Conditional Symmetry, Exact Solutions and Their Applica-tions. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2018, 238 p.
[45] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Ex-act Solutions, Methods, and Problems. Boca Raton, CRC Press, 2018, 1496 p.
[46] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва, Наука, 1978, 339 с.
Полянин А.Д. Методы функционального разделения переменных и их применение в математической физике. Математическое моделирование и численные методы, 2019, № 1, с. 65–97.
Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации AAAA-A17-117021310385-6) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-29-03228).
Скачать статью
Количество скачиваний: 523