519.6 Применение гибридных алгоритмов к экстремальным задачам на собственные значения лагранжевых динамических систем

Сулимов В. Д. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Шкапов П. М. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Гончаров Д. А. (МГТУ им.Н.Э.Баумана)

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ, АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАТНОСТЬ, УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА, СГЛАЖИВАЮЩАЯ АППРОКСИМАЦИЯ, ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ, АЛГОРИТМ МЕТРОПОЛИСА, ГИБРИДНЫЙ АЛГОРИТМ.


doi: 10.18698/2309-3684-2016-4-84102


Рассмотрены экстремальные задачи для составляющих собственных спектров лагранжевых динамических систем. Математические модели исследуемых систем описаны матрицами, зависящими от параметров. Задачи на собственные значения, формулируемые для таких систем, в общем случае характеризуются спектрами, которые могут содержать кратные собственные значения. Частные критерии в экстремальных задачах предполагаются непрерывными, липшицевыми, многоэкстремальными и, возможно, не всюду дифференцируемыми функциями. Поиск глобальных решений проведен с использованием новых гибридных алгоритмов, объединяющих стохастический алгоритм сканирования пространства переменных и детерминированные методы локального поиска. Приведены численные примеры решения задач глобальной недифференцируемой минимизации максимальных собственных значений систем.


[1] Prieto-Martinez P.D., Román-Roy N. Lagrangian–Hamiltonian unified formalism for autonomous higher order dynamical systems. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2011. DOI 10.1088/1751-8113/44/38/385203
[2] Havelková M. Symmetries of a dynamical system represented by singular Lagrangians. Communications in Mathematics, 2012, vol. 20, issue 1, pp. 22–32.
[3] Mestdag T., Sarlet W., Crampin M. Second-order dynamical systems of Lagrangian type with dissipation. Differential Geometry and its Applications, 2011, vol. 29, suppl. 1, pp. S156–S163.
[4] Musielak Z.E., Roy D., Swift L.D. Method to derive Lagrangian and Hamiltonian for a nonlinear dynamical system with variable coefficients. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, vol. 38, no. 3, pp. 894–902.
[5] El-Nabusi R.A. Modified plasma-fluid equations from nonstandard Lagrangians with applications to nuclear fusion. Canadian Journal of Physics, 2014, vol. 93, no. 1, pp. 55–67. DOI 10.1139/cjp-2014-0233
[6] Sabattini L., Secchi C., Chopra N. Decentralized connectivity maintenance for networked Lagrangian systems with collision avoidance. Asian Journal of Control, 2014, vol. 17, no. 1, pp. 111–123.
[7] Cresson J., Greff I. Non-differentiable embedding of Lagrangian systems and partial differential equations. Journal of Mathematical Analysis, 2011, vol. 384, no. 2, pp. 626–646.
[8] Gonçalves P. Behavior modes, pathways and overall trajectories: eigenvector and eigenvalue analysis of dynamic systems. System Dynamics Review, 2009, vol. 25, no. 1, pp. 35–62.
[9] Пожалостин А.А., Гончаров Д.А., Кокушкин В.В. Малые колебания двухслойной жидкости с учетом проницаемости разделителя. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2014, № 5, с. 109–116.
[10] Huijberts H., Michiels W., Nijmeijer H. Stabilizability via time-delayed feedback: an eigenvalue optimization approach. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2009, vol. 8, no. 1, pp. 1–20.
[11] Сулимов В.Д., Шкапов П.М., Бондаренко Н.И. Восстановление характеристик потока жидкости в трубе по спектральным данным с использованием гибридных алгоритмов оптимизации. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2016, № 2, с. 65–78.
[12] Embree M., Lehoucq R.B. Dynamical systems and non-Hermitian iterative eigensolvers. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2009, vol. 47, no. 2, pp. 1445–1473.
[13] Liu S.-T., Luo X.-L. A method based on Rayleigh quotient gradient flow for extreme and interior eigenvalue problems. Linear Algebra and its Applications, 2010, vol. 432, no. 7, pp. 1851–1863.
[14] Mengi E., Yildirim E.A., Kiliç M. Numerical optimization of eigenvalues of Hermitian matrix functions. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2014, vol. 35, no. 2, pp. 699–724.
[15] Lippert R.A. Fixing multiple eigenvalues by a minimal perturbation. Linear Algebra and its Applications, 2010, vol. 432, no. 7, pp. 1785–1817.
[16] Mengi E. Locating a nearest matrix with an eigenvalue of prescribed algebraic multiplicity. Numerische Mathematik, 2011, vol. 118, no. 1, pp. 109–135.
[17] Alam R., Bora S. On sensitivity of eigenvalues and eigendecompositions of matrices. Linear Algebra and its Applications, 2005, vol. 396, pp. 273–301.
[18] Wilkins A.K., Tidor B., White J., Barton P.I. Sensitivity analysis for oscillating dynamical systems. SIAM Journal on Scientific Computing, 2009, vol. 31, no. 4, pp. 2706–2732.
[19] Palej R., Krowiak A. Modal analysis of multi-degree-of-freedom systems with repeated frequencies — analytical approach. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, vol. 49, no. 2, pp. 343–354.
[20] Tang P.T.P., Polizzi E. FEAST as a subspace iteration eigensolver accelerated by approximate spectral projection. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2014, vol. 35, no. 2, pp. 354–390.
[21] Floudas C.A., Gounaris C.E. A review of recent advances in global optimization. Journal of Global Optimization, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 3–38.
[22] Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой. Москва, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014, 446 с.
[23] Rios-Coelho A.C., Sacco W.f., Henderson N. A Metropolis algorithm combined with Hooke-Jeeves local search method applied to global optimization. Applied Mathematics and Computation, 2010, vol. 217, no. 2, pp. 843–885.
[24] Voglis C., Parsopoulos K.E., Papageorgiou D.G., Lagaris I.E., Vrahatis M.N. MEMPSODE: A global optimization software based on hybridization of population-based algorithms and local searches. Computer Physics Communications, 2012, vol. 183, no. 2, pp. 1139–1154.
[25] Gil C., Márques A., Baños R., Montoya M.G., Gómez J. A hybrid method for solving multi-objective global optimization problems. Journal of Global Optimization, 2007, vol. 38, no. 2, pp. 265–281.
[26] Sulimov V.D., Shkapov P.M. Hybrid algorithms for multiobjective optimization of mechanical and hydromechanical systems. Journal of Mechanics Engineering and Automation, 2012, vol. 2, no. 3, pp. 190–196.
[27] Bagirov A.M., Al Nuaimat A., Sultanova N. Hyperbolic smoothing function method for minimax problems. Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 2013, vol. 62, no. 16, pp. 759–782.
[28] Luz E.F.P., Becceneri J.C., de Campos Velho H.F. A new multi-particle collision algorithm for optimization in a high performance environment. Journal of Computational Interdisciplinary Sciences, 2008, vol. 1, pp. 3–10.
[29] Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Гибридные методы вычислительной диагностики двухфазного потока в циркуляционном контуре. Математическое моделирование и численные методы, 2015, № 3, с. 68–88.
[30] Sulimov V.D., Shkapov P.M. Application of hybrid algorithms to computational diagnostic problems for hydromechanical systems. Journal of Mechanics Engineering and Automation, 2012, vol. 2, no. 12, pp. 734–741.


Сулимов В. Д., Шкапов П. М., Гончаров Д. А. Применение гибридных алгоритмов к экстремальным задачам на собственные значения лагранжевых динамических систем. Математическое моделирование и численные методы, 2016, №4 (12), c. 84-102



Скачать статью

Количество скачиваний: 588