539.3 Моделирование вязкоупругих характеристик материалов на основе численного обращения преобразования Лапласа

Валишин А. А. (МГТУ им.Н.Э.Баумана), Тиняев М. А. (МГТУ им.Н.Э.Баумана)

ВЯЗКОУПРУГОСТЬ, РЕЛАКСАЦИЯ, ПОЛЗУЧЕСТЬ, ФУНКЦИИ РЕЛАКСАЦИИ И ПОЛЗУЧЕСТИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА, МЕТОД ФУРЬЕ, МЕТОД КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ


doi: 10.18698/2309-3684-2020-3-321


При проектировании изделий из композиционных материалов, предназначенных для эксплуатации в сложных условиях неоднородных деформаций и температур, важно учитывать вязкоупругие свойства связующего и наполнителей. В статье анализируется взаимосвязь характеристик релаксации и ползучести. Рассмотрены все известные в литературе функции ползучести и релаксации. Подробно обсуждается проблема преобразования характеристик ползучести в характеристики релаксации и наоборот. Между функциями ползучести и релаксации существует простая взаимосвязь в пространстве изображений по Лапласу. Однако при возвращении в пространство оригиналов во многих случаях возникают большие трудности при обращении преобразования Лапласа. Рассмотрены два численных метода обращения преобразования Лапласа: использование ряда Фурье по синусам и метод квадратурных формул. Составлены алгоритмы и компьютерные программы для реализации этих методов. Показано, что время работы компьютерной программы, реализующей метод Фурье по синусам, почти в 2 раза меньше времени работы компьютерной программы, реализующей метод квадратурных формул. Однако первый метод уступает второму методу в погрешности вычислений: функции релаксации и скорости релаксации целесообразно находить первым способом, поскольку погрешность вычислений почти неразличима, а функции ползучести и скорости ползучести — вторым способом, т.к. для большинства таких функций результат, полученный вторым методом, значительно точнее результата, полученного первым методом. Функцию ползучести и функцию скорости ползучести Гаврильяка-Негами не удалось построить в связи со сложной рекурсивной формулой для коэффициентов ряда, однако, используя оба метода, эти функции всё же можно получить и сравнить друг с другом.


[1] Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. Москва, Физматлит, 2009, 624 с.
[2] Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Москва, Мир, 1974, 339 с.
[3] Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. Москва, Мир, 1965, 199 с.
[4] Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах, том 1. Москва, Машиностроение, 1968, 831 c.
[5] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4. Основы механики твердых сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 624 с.
[6] Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. Москва, Наука, 1970, 356 с.
[7] Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. Москва, Наука, 1966, 752 с.
[8] Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. Москва, Высшая школа, 1976, 276 с.
[9] Москвитин Б.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. Москва, Наука, 1972, 328 с.
[10] Ржаницын А.Р. Теория ползучести. Москва, Стройиздат, 1968, 416 с.
[11] Бартенев Г.М., Френкель С.Я. Физика полимеров. Ленинград, Химия, 1990, 432 с.
[12] Прохоров A.М. Физическая энциклопедия. Т.1. Аароново — Длинные. Москва, Советская энциклопедия, 1988, 703 с.
[13] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Конечно-элементное моделирование эффективных вязкоупругих свойств однонаправленных композиционных материалов. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2, c. 28–48.
[14] Dimitrienko Yu.I., Minin V.V., Syzdykov E.K. Modeling of the thermomechanical processes in composite shells in local radiation heating. Composites: Mechanics, Computations, Applications, 2011, vol. 2, iss. 2, pp. 147–169.
[15] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A., Pichugina A.E. Theory of composite cylindrical shells under quasistatic vibrations, based on an asymptotic analysis of the general viscoelasticity theory equations. IOP Conference Series: Material Science and Engineering, 2019, vol. 683, no. 012013. DOI: 10.1088/1757-899X/683/1/012013
[16] Димитриенко Ю. И., Коряков М. Н., Захаров А. А., Строганов А. С. Численное моделирование сопряженных аэрогазодинамических и термомеханических процессов в композитных конструкциях высокоскоростных летательных аппаратов. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 3, c. 3–24.
[17] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва, Физматгиз, 1968, 344 с.
[18] Пагурова В.И. Таблицы неполной гамма-функции. Москва, Физматгиз, 1963, 235 c.
[19] Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1974, 223 с.


Валишин А.А., Тиняев М.А. Моделирование вязкоупругих характеристик материалов на основе численного обращения преобразования Лапласа. Математическое моделирование и численные методы, 2020, № 3, с. 3–21.



Скачать статью

Количество скачиваний: 505