517.9 Преобразования, редукции и точные решения широкого класса нестационарных уравнений с нелинейностью типа Монжа – Ампера
Полянин А. Д. (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН/МГТУ им.Н.Э.Баумана/НИЯУ МИФИ)
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МОНЖА — АМПЕРА, СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, ОДНОМЕРНЫЕ И ДВУМЕРНЫЕ РЕДУКЦИИ, ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, РЕШЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ, АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
doi: 10.18698/2309-3684-2024-1-124142
Рассматриваются достаточно общие нестационарные сильно нелинейные уравнения в частных производных с тремя независимыми переменными, которые содержат первую производную по времени и квадратичную комбинацию вторых производных по пространственным переменным типа Монжа — Ампера (такие уравнения часто называют параболическими уравнениями Монжа — Ампера). Отдельные уравнения такого вида встречается в дифференциальной геометрии и электронной магнитной гидродинамике. В данной работе описаны многопараметрические преобразования, сохраняющие вид исследуемого класса нелинейных уравнений, который задается произвольной функцией. Рассмотрены также двумерные и одномерные редукции, приводящие к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными или обыкновенным дифференциальным уравнениям. Методами обобщенного разделения переменных построен ряд точных решений, многие из которых допускают представление в элементарных функциях. Полученные результаты и точные решения могут быть использованы для оценки точности и анализа адекватности численных методов решения задач, описываемых сильно нелинейными уравнениями в частных производных.
Крылов Н.В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения. Сибирский математический журнал, 1976, Т. 17, № 2, с. 290–303.
Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. Москва, Наука, 1969, 760 с.
Гурса Э. Курс математического анализа. Том 3. Часть 1. Москва, Гостехиздат, 1933, 273 с.
Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations. Boca Raton: CRC Press, 2012, 1912 p.
Хабиров С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа—Ампера. Математический сборник, 1990, Т. 181, № 12, c. 1607–1622.
Ibragimov N.H. CRC handbook of lie group analysis of differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws. Boca Raton: CRC Press, 1994, 444 р.
Курант Р. Уравнения с частными производными. Москва, Мир, 1964, 832 с.
Sulman M.M., Williams J.F., Russell R.D. An efficient approach for the numerical solution of the Monge–Ampere equation. Applied Numerical Mathematics, 2011, vol. 61, no. 3, pp. 298–307.
Feng X., Lewis T. Nonstandard local discontinuous Galerkin methods for fully nonlinear second order elliptic and parabolic equations in high dimensions. Journal of Scientific Computing, 2018, vol. 77, no. 3, pp. 1534–1565.
Liu H., Glowinski R., Leung S., Qian J. A finite element/operator-splitting method for the numerical solution of the three dimensional Monge–Ampere equation. Journal of Scientific Computing, 2019, vol. 81, no. 3, pp. 2271–2302.
Caboussat A., Gourzoulidis D., Picasso D. An adaptive method for the numerical solution of a 2D Monge–Ampere equation. Proceedings of the 10th International Conference on Adaptative Modeling and Simulation (ADMOS), Barcelona, 2021, 8 p.
Smirnov V.V., Chukbar K.V. “Phonons” in two-dimensional vortex lattices. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2001, vol. 93, no. 1, pp. 126–135.
Zaburdaev V.Yu., Smirnov V.V., Chukbar K.V. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices. Plasma Physics Reports, 2014, vol. 30, no. 3, pp. 214–217.
Ohkitani K., Sultu F. Al. Singularity formation in the Smirnov–Chukbar–Zaburdaev equation for the deformation of vortex lattices. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2013, vol. 46, no. 20, pp. 205501-1–19.
Dubinov A.E., Kitayev I.N. New exact solutions of the equation of nonlinear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics. Magnetohydrodynamics, 2020, vol. 56, no. 4, pp. 369–375.
Полянин А.Д. Преобразования, редукции и точные решения одного сильно нелинейного уравнения электронной магнитной гидродинамики. Вестник НИЯУ «МИФИ», 2023, Т. 12, № 4, с. 201-210.
Spiliotis J. Certain results on a parabolic type Monge–Ampere equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1992, vol. 163, no. 2, pp. 484–511.
Spiliotis J. A complex parabolic type Monge–Ampere equation. Applied Mathematics & Optimization, 1997, vol. 35, pp. 265–282.
Chen L., Wang G., Lian S. Convex-monotone functions and generalized solution of parabolic Monge–Ampere equation. Journal of Differential Equations, 2002, vol. 186, no. 2, pp. 558–571.
Dai L. Symmetry of solutions to parabolic Monge–Ampere equations. Boundary Value Problems, 2013, no. 185, art no. 2557.
Tang L. Regularity results on the parabolic Monge–Ampere equation with VMO type data. Journal of Differential Equations, 2013, vol. 255, no. 7, pp. 1646–1656.
Dai L. Exterior problems of parabolic Monge–Ampere equations for n=2. Computers & Mathematics with Applications, 2014, vol. 67, no. 8, pp. 1497–1506.
Zhang W., Bao J. A Calabi theorem for solutions to the parabolic Monge–Ampere equation with periodic data. AIHPC, 2018, vol. 35, no. 5, pp. 1143–1173.
Zhang W., Bao J., Wang B. An extension of Jorgens–Calabi–Pogorelov theorem to parabolic Monge–Ampere equation. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2018, vol. 57, no. 3. DOI:10.1007/s00526-018-1363-5.
Dai L., Bao J. Entire solutions of Cauchy problem for parabolic Monge–Ampere equations. Advanced Nonlinear Studies, 2020, vol. 20, no. 4, pp. 769–781.
Dai L., Cheng H. The first initial-boundary value problem of parabolic Monge–Ampere equations outside a bowl-shaped domain. Boundary Value Problems, 2021, no. 29, art no. 1300.
Ивочкина Н.М., Ладыженская О.А. О параболических уравнениях, порождаемых симметрическими функциями собственных значений Гессиана или главными кривизнами искомой поверхности. Часть I: Параболические уравнения Монжа–Ампера. Алгебра и анализ, 1994, Т. 6, № 3, c. 141–160.
Wang J., Yang J., Liu X. The initial and Neumann boundary value problem for a class parabolic Monge–Ampere equation. Abstract and Applied Analysis, 2013, vol. 1, art no. 535629.
Tang L. Boundary regularity on the parabolic Monge–Ampere equation. Journal of Differential Equations, 2015, vol. 259, pp. 6399–6431.
Huang Q., Lu G. On a priori and estimates for a parabolic Monge–Ampere equation in the Gauss curvature flows. American Journal of Mathematics, 2006, vol. 128, no. 2, pp. 453–480.
Loftin J., Tsui M.P. Ancient solutions of the affine normal flow. Journal of Differential Geometry, 2008, vol. 78, pp. 113–162.
Dai L. Exterior problems for a parabolic Monge–Ampere equation. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2014, vol. 100, pp. 99–110.
Wang B., Bao J. Asymptotic behavior on a kind of parabolic Monge–Ampere equation. Journal of Differential Equations, 2015, vol. 259, pp. 344–370.
Xiong J., Bao J. On Jorgens, Calabi, and Pogorelov type theorem and isolated singularities of parabolic Monge–Ampere equations. Journal of Differential Equations, 2011, vol. 250, pp. 367–385.
Karatzas I. Adaptive control of a diffusion to a goal and a parabolic Monge–Ampere-type equation. The Asian Journal of Mathematics, 1997, vol. 1, no. 2, pp. 295–313.
Budd C.J., Galaktionov V.A. On self-similar blow-up in evolution equations of Monge–Ampere type. IMA Journal of Applied Mathematics, 2013, vol. 78, no. 2, pp. 338–378.
Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. New York, Academic Press, 1982, 416 p.
Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. New York, Springer-Verlag, 2000, 501 p.
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Москва, Физматлит, 2005, 255 с.
Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2007, 498 р.
Полянин А.Д., Журов А.И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Москва, ИПМех РАН, 2020, 384 с.
Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. Boca Raton–London, CRC Press, 2022, 397 р.
Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука. Сиб. отд-ние, 1984, с. 107-114.
Kudryashov N.A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations. Chaos, Solitons and Fractals, 2005, vol. 24, no. 5, pp. 1217–1231.
Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный, Интеллект, 2010, 364 c.
Полянин А.Д. Методы функционального разделения переменных и их применение в математической физике. Математическое моделирование и численные методы, 2019, № 1, c. 65–97.
Aksenov A.V., Polyanin A.D. Methods for constructing complex solutions of nonlinear PDEs using simpler solutions. Mathematics, 2021, vol. 9, iss. 4, art no. 345.
Полянин А.Д., Аксенов А.В. Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений. Теоретическая и математическая физика, 2022, Т. 211, № 2, с. 149-180.
Polyanin A.D., Sorokin V.G., Zhurov A.I. Delay Ordinary and Partial Differential Equations. Boca Raton, CRC Press: Taylor & Francis Group, 2023, 434 с.
Полянин А.Д. Преобразования, редукции и точные решения широкого класса нестационарных уравнений с нелинейностью типа Монжа – Ампера. Математическое моделирование и численные методы, 2024, № 1, с. 124–142.
Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации 123021700057-0).
Скачать статью
Количество скачиваний: 14