519.6 Двумерная самоорганизованно-критическая модель Манны для песчаных сред

Подлазов А.В.(Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН)

САМООРГАНИЗОВАННАЯ КРИТИЧНОСТЬ, МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ, СТЕПЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, КОНЕЧНО-РАЗМЕРНЫЙ СКЕЙЛИНГ, МОДЕЛЬ ТИПА КУЧИ ПЕСКА, МОДЕЛЬ МАННЫ, СЛОИ ОПРОКИДЫВАНИЯ, ВОЛНЫ ОПРОКИДЫВАНИЯ


doi: 10.18698/2309-3684-2014-3-89110


Представлено полное решение модели Манны — двумерной консервативной модели типа кучи песка с изотропными в среднем правилами передачи песчинок. Показатели распределений лавин по основным характеристикам (размер, площадь, периметр, длительность, кратность опрокидывания) определены для этой модели как аналитически, так и численно.
Предлагаемое решение основано на пространственно-временной декомпозиции лавин, описываемых посредством слоев и волн опрокидывания, а также на разделении движения песчинок на направленное и ненаправленное. Первый процесс может интерпретироваться в терминах динамики активных частиц, для которых описываются некоторые физические свойства.


[1] Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality. Phys. Rev. A., 1988, vol. 38, no.1, pр. 364–374.
[2] Бак П. Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности. Синергетика: от прошлого к будущему. Москва, Либроком, 2013, 276 с.
[3] Manna S.S. Two-state model of self-organized criticality. J. Phys. A: Math. Gen., 1991, vol. 24, pр. L363–L639.
[4] Milshtein E., Biham O., Solomon S. Universality classes in isotropic, Abelian, and non-Abelian sandpile models. Phys. Rev. E., 1998, vol. 58, no. 1, pр. 303–310.
[5] Zhang Y.-C. Scaling theory of self-organized criticality. Phys. Rev. Lett., 1989, vol. 63, no. 5, pр. 470−473.
[6] Ben-Hur A., Biham O. Universality in sandpile models. Phys. Rev. E., 1996, vol. 53, no. 2, рp. R1317–R1320.
[7] Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Сравнение двумерных изотропных консервативных самоорганизованно-критических моделей типа кучи песка. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 2, c. 119–128.
[8] Pietronero L., Vespignani A., Zapperi S. Renormalization scheme for selforganized criticality in sandpile models. Phys. Rev. Lett., 1994, vol. 72, no. 11, рp. 1690−1693.
[9] Vespignani A., Zapperi S., Pietronero L. Renormalization approach to the selforganized critical behavior of sandpile models. Phys. Rev. E., 1995, vol. 51, no. 3, pр. 1711−1724.
[10] Díaz-Guilera A. Dynamic renormalization group approach to self-organized critical phenomena. Europhys. Lett., 1994, vol. 26, no. 3, р. 177.
[11] Corral Á., Díaz-Guilera A. Symmetries and fixed point stability of stochastic differential equations modeling self-organized criticality. Phys. Rev. E., 1997, vol. 55, no. 3, pр. 2434−2445.
[12] Dhar D., Ramaswamy R. Exactly solved model of self-organized critical phenomena. Phys. Rev. Lett., 1989, vol. 63, no. 16, pр. 1659−1662.
[13] Pastor-Satorras R., Vespignani A. Universality classes in directed sandpile models. J. Phys. A: Math. Gen, 2000, no. 33, pр. L33–L39.
[14] Paczuski M., Bassler K.E. Theoretical results for sandpile models of SOC with multiple topplings. Phys. Rev. E., 2000, vol. 62, no. 4, pр. 5347−5352.
[15] Kloster M., Maslov S., Tang C. Exact solution of stochastic directed sandpile model. Phys. Rev. E., 2001, vol. 63, no. 2, pр. 026111.
[16] Feder H.J.S., Feder J. Self-organized criticality in a stick-slip process. Phys. Rev. Lett., 1991, vol. 66, no. 20, pр. 2669−2672.
[17] Kadanoff L.P., Nagel S.R., Wu L., Zhou S. Scaling and universality in avalanches. Phys. Rev. A., 1989, vol. 39, no. 12, pр. 6524−6537.
[18] Подлазов А.В. Двумерные самоорганизованно-критические модели типа кучи песка с анизотропной динамикой распространения активности. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2012, т. 20, № 6, с. 25−46.
[19] Lübeck S., Usadel K.D. Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile model around upper critical dimension. Phys. Rev. E., 1997, vol. 56, no. 5, pр. 5138−5143.
[20] Chessa A., Vespignani A., Zapperi S. Critical exponents in stochastic sandpile models. Comput. Phys. Commun, 1999, vol. 121–122, pр. 299–302.
[21] Lübeck S. Moment analysis of the probability distributions of different sandpile models. Phys. Rev. E., 2000, vol. 61, no. 1, pр. 204−209.
[22] Lübeck S., Usadel K.D. Numerical determination of the avalanche exponents of the Bak-Tang-Wiesenfeld model. Phys. Rev. E., 1997, vol. 55, no. 4, pр. 4095−4099.
[23] Ivashkevich E.V., Ktitarev D.V., Priezzhev V.B. Waves of topplings in an Abelian sandpile. Physica A., 1994, vol. 209, pр. 347−360.


Подлазов А. В. Двумерная самоорганизованно-критическая модель Манны для песчаных сред. Математическое моделирование и численные методы, 2014, №3 (3), c. 89-110



Скачать статью

Колличество скачиваний: 117